轉馬の轉は転。転勤、転居、転職など「かわる」の意味もあります。
「馬がかわる」ってどんなことなんでしょうね？　祖父が石川県の津幡町の出身なので、一説として…
祖父が石川県の津幡町の出身です。
「倶利伽羅 源平の郷がある津幡町は、石川県のほぼ中央に位置し、能登・金沢・富山方面への結節点にあります。
…（中略）…また、加賀百万石の加賀藩が往来した地でもあります。
今昔の道倶利伽羅 源平の郷（HPより抜粋）

津幡町は能登・金沢・富山方面への結節点にあたる宿場町です。旅人はここで一泊して、翌日には馬を乗り代えて再び旅を続けたのでしょう。「馬をかえる」の地にちなんだ名字だと考えています。現在でも数件の轉馬さんが居られるようですが、石川県でも多い名字ではないようです。
決して馬が転がるわけではありません。ちなみに「うたたね」を漢字変換すると「転寝」と出ます。これは転がっているという意味ですが…。